格天文钟必威平台网址的数学原理

作者:教育

  欢迎来到捷克共和国的首都——布拉格。这个中欧城市不但拥有“千塔之城”的美誉,而且更被联合国教科文组织列入世界文化遗产。不少举世闻名的数学家、物理学家和天文学家都在这片土地上度过光辉的岁月,留下许许多多永不磨灭的历史印记。其中的代表人物包括文艺复兴时期的意大利哲学家乔尔达诺·布鲁诺,而皮克是教授爱因斯坦张量微积分的数学家之一。上述科学家在布拉格生活期间,建立了几个对后世影响深远的数学和物理学理论,并且从事相关之研究工作。十七世纪初,开普勒根据第谷·布拉赫的观测结果,提出行星运动三大定律之第一、第二定律。十九世纪上半叶,波尔查诺给出了一个既有分形特征,又不可微分的连续函数,并且以无限数集。1842年,布拉格理工大学数学教授多普勒在布拉格Ovocný trh担任理论物理学教授,醉心于广义相对论的研究工作。甚至著名捷克作家卡雷尔·恰佩克。本文后面会简单介绍这些与布拉格息息相关的伟人纪念碑和雕塑。接下来,本文集中讨论布拉格旧城广场中心的一个著名建筑物,分析其中有趣的数学问题。

  布拉格旧城区中心(图1-2)有一个古色古香的天文钟(捷克语orloj,英语horologe)。无论是一般游客,或是热爱数学的人,都会慕名而来一睹这个举世稀有的珍品。本文将揭示天文钟与三角形数之间鲜为人知的关系,探讨三角形数的特性,以及这些特性如何提升大钟的准确度。

  布拉格天文钟的数学模型设计来自简·安卓亚(Joannes Andreae,捷克语Jan Ondrejuv,生于1375年,卒于1456年)。安卓亚又名辛蒂尔(Šindel),在国王查理四世于1348年所创办的布拉格大学任教。1410年,辛蒂尔当上大学院长,天文钟的设计意念终于通过卡丹市(Kadaň)的钟匠密库拉斯(捷克语Mikulás,即英语Nicholas)得以实现。

  布拉格天文钟设于旧城市政厅一座约六十米高的钟楼内,而两个大钟盘(图3)则镶嵌在钟楼南面的外墙上。六百年来,天文钟经历过几次大型翻新,其中一次约在1490年,由克伦洛夫城(Ruze)的钟表工匠简恩(Jan,又名哈劳斯大师Master Hanus)带领进行。天文钟下钟盘的左方特别设置一面纪念碑,用来表彰这些钟匠们的付出和贡献。

  天文钟的上钟盘是一个靠发条机制控制而运作的星盘,象征天球(celestial sphere)由其北极通过南极落在切平面上的球极平面投影(stereographic projection)。钟盘的中心点相当于天球的南极,南极四周的最小内圆代表南回归线,而外圆则代表北回归线,两者之间的同心圆相当于天球赤道(图4)。

  因此,天球黄道的投影也是圆形,用刻有十二星座图案的镀金钟圈表示。虽然天球黄道的中心点并不是南极点,但是镀金钟圈却神奇地绕着南极点转动(如图4所示)。此外,天文钟也指出了太阳在黄道上的大概位置、月球的运动和月相,以及日、月和十二星座各自的出、落和中天时间。

  镀金太阳指针在罗马数字钟圈上转动,显示的是中欧时间(Central European Time,简称CET),值得留意的是,中欧时间和原来的布拉格当地时间相差只有138秒。旁边那枝镀金星星指针所显示的是恒星时(sidereal time)。最外那个钟圈上有金制的阿拉伯数字1至24,标示从日落起计算的古捷克时间;而下方黑色的阿拉伯数字1至12,是用来标示早在巴比伦时代已经开始使用的行星时间(planetary hours)。行星时间则由日出开始算起,与古捷克时间的计算方法相反。

  钟盘下方的黑色圆形部分代表天文曙暮光(astronomical night),即太阳处于地平线度的时段;外围的棕色部分象征黎明和黄昏(AVRORA和CREPVSCVLV标志着白昼和夜晚),而ORTVS和OCCASVS则代表日出和日落。

  天文钟的主装置有三个同心大齿轮,每个直径为116厘米,最初由三个各有24齿的小齿轮驱动。第一个大齿轮有365齿,每个恒星日(即23小时56分4秒)推动星座钟圈转一周。第二个大齿轮有366齿,每一平太阳日(mean sun day)推动太阳指针转动一圈。由于地球环绕太阳的的公转轨道是椭圆形而非圆形,因此太阳在天球上的运动速度不均一。现时,星座钟圈的位置每年要经人手调校两次。第三个大齿轮有379齿,推动月亮指针根据月球的视运动(mean apparent motion)而转动。因为月球轨道同样是椭圆形,所以月亮指针也需要不时以人手校准。月亮指针(图4)其实是个空心球体,内藏机关,可展示月相。这个指针设计于十七世纪,转动的动力来自椭圆环圈的运动。

  下面的钟盘是个月历钟,上面有十二幅由马内斯(Josef Mánes)绘画的饼图画,每一年转一周,最上的钟针标示一年中的某一日,同时亦提供取名日(name days)等信息。

  下述例子诠释了十五世纪钟表工匠的精湛技术。天文钟的机械组件里,有一个大齿轮,它的圆周上有24道齿槽,齿槽间的距离随圆周逐渐递增(图6-7)。这个装置使大钟每天重复地按时敲打一至二十四下。与大齿轮连着一个辅助齿轮有六道齿槽,齿轮圆周按照“1,2,3,4,3,2”的比例分成六段。这几个数字合起来构成了一个循环周期,令齿轮不断地重复转动。这六个数字的和是15。

  每到整点,扣子便会升起,大小齿轮便会运转。耶稣十二门徒的小木偶会通过钟面两侧的小窗口列队绕行一圈,然后钟声徐徐响起。待扣子回落在齿槽时,两个齿轮就会停止转动。大钟每天敲打的次数是1+2+...+24=300下。由于300能被15整除,所以小齿轮每天同一时间的位置都是不变的。

  大齿轮有120个内齿,啮合在一个针齿轮之中,针齿轮有六支围住小齿轮轴心的水平小横杆。大齿轮一天转一圈,而小齿轮则以高四倍左右的圆周速度一天转二十圈。这么一来,就算大齿轮出现磨损的情况,小齿轮都可以保持天文钟按刻报时的准确度。与此同时,小齿轮能够有效地使大钟在每天凌晨一时,只敲打一次。从(图7)所见,大齿轮的第一、二个齿槽之间并没有轮齿,即便有,也会因为太小而容易断开,所以,扣子只能够接触到小齿轮弧长为一的轮齿。

  从文献[2]得知,上述的数列能够不断被建构出来,直至无限大。可是,并不是所有周期数列都拥有如此巧妙的总和特性。例如,我们可以很快便知道1,2,3,4,5,4,3,2不可用,因为6<4+3;而1,2,3,2也不可用,因为2+1<4<2+1+2。

  布拉格天文钟很可能是世上现存少数装有(图6)零件的大钟当中最古老的一个(文献[1],76页)。正因上述完美的总和特性,美国数学家斯洛恩(Sloane,参考书目[3]及[4,A028355,A028356]的作者)把1,2,3,4,3,2,1,2,3,4……称为时钟数列(clock sequence)。

  与天文钟的关系,并找出所有跟时钟数列1,2,3,4,3,2拥有相同特性的周期数列,亦即可应用在小齿轮构造的周期数列。设 N={1,2,⋯}。

  成立,那么该周期数列 {ai} 会被称为辛蒂尔(Šindel)数列,其中等号左边的三角形数 Tk 等于大齿轮所有时刻的总和 1+2+⋯+k,而右边数字的总和则表示小齿轮相应的转动圈数(图8)。我们在参考资料[2]证明了,上述条件可被一个弱得多的条件所取代,只需要有限个 k,那就是,序列a1,a2,…,ap,a1,a2,…的周期长为 p,若存在正整数 n,使等式(1)对k=1,2,⋯,a1+a2+⋯+ap−1成立,那么该数列就是辛蒂尔数列。这样便可在有限的运算次数中,检查某一周期 a1,⋯,ap 能否得出辛蒂尔数列。文献[2]也提供了查找辛蒂尔数列的显式算法。

  图8. 每行上面的数代表了小齿轮的小节的长度;而下面的数表示第k个小时大钟敲打的次数。

  离天文钟几米远的地方,竖立着一个爱因斯坦纪念牌,纪念他在1911年至1912年间,在旧城广场十七号暂住的岁月(见图9)。纪念牌旁边的哥德式教堂泰恩(Týn),安放了建于1601年的第谷·布拉赫的墓冢,供游人参观。沿旧城广场向前走,一直到契里特纳大街(Celetná Street)25号,就会看见波尔查诺纪念碑(图10)。旧城广场附近还有其它科学家的纪念碑及半身塑像,同样也值得参观。这些人物包括爱因斯坦(Vinicná7号、Lesnická7号)、多普勒(查理广场20号、Obecnlhodvora7号;图11)、开普勒(查理大街4号、Ovocnytrh12/573号),以及位于Parlerova街2号的开普勒和布拉赫的大型雕像(图12)等。

  作为旅游热点,布拉格拥有不同历史风格的建筑物,罗马式、哥德式、文艺复兴、巴洛克等建筑在市内比比皆是,因此被誉为最美、最浪漫的中欧城市之一。宏伟的布拉格城堡、艺术家和巴洛克雕塑处处可见的查理大桥(Charles Bridge),还有泥巴妖怪勾勒姆(Golem)传说的发源地——犹太区(Jewish Town)。相传勾勒姆是由德高望重的犹太教师罗乌(Rabbi Loew)在十六世纪末左右制造,用来帮助当时居住在布拉格的犹太人对抗迫害。此外,布拉格也是欧洲的文化重镇,拥有浓厚的音乐传统,历史上曾有多部著名作品在此公演。1787年10月29日,享负盛名的莫扎特歌剧《唐璜》在查理大学附近的艾斯特歌剧院(Estate Theatre)首度公演。总括来说,不管你对数学是否感兴趣,布拉格都会给你带来无穷乐趣。

  本论文由捷克科学院的院校研究计划(编号AV0Z10190503)及研究基金(编号IAA100190803)资助。感谢JakubŠolc先生提供图像技术支持。

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